Matematika Ekonomi : Deret Hitung dan Deret Ukur Serta Penerapannya Dalam Ekonomi Bisnis

DERET

Deret Hitung adalah deret yang perubahan suku-sukunya berdasarkan penjumlahan terhadap sebuah bilangan tertentu.

Contoh:

7,12,17,22,27,32    (Pembeda = 5)

93,83,73,63,53,43  (Pembeda = -10)

Contoh:

5  ,10 ,15 ,20 ,25 ,30
S1,S2,S3,S4,S5,S6

S1 = 5 = a 

S2 = 10 = a + b = a +(2-1)b 

S3 = 15 = a + 2b = a + (3-1)b

Sn = a + (n-1)b 

a : suku pertama 

b : pembeda 

n : indeks suku

Contoh Soal: 

1. PT X menghasilkan 400.000 buah HP pada bulan pertama produksinya. Dengan penambahan tenaga kerja dan peningkatan produktivitasnya, PT X  mampu menambah produksinya sebanyak 50.000 buah setiap bulan. Jika perkembangan produksinya konstan, berapa banyak HP yang dihasilkan pada bulan kelima? Dan berapa banyak HP yang dihasilkan sampai dengan bulan tersebut? 

Jawab: 

a= 400.000 

b= 50.000 

N5? 

Sn= a+(n-1).b 

S5= 400.000+(5-1).50.000 

S5= 400.000+200.000 

S5= 600.000 

Lalu ditanya berapa banyak HP yang dihasilkan sampai dengan bulan tersebut? 

Sn= N/2.(a+Un) 

Sn= 5/2.(400.000+600.000) 

Sn= 2,5.(1.000.000) 

Sn= 2.500.000 

2. Besarnya penerimaan PT.  Astra International, tbk dari hasil penjualan  Toyota Avanza  Rp. 720 Milyar  pada tahun kelima  dan pada tahun ke tujuh  berhasil mencatatkan Rp. 980 Milyar dari penjualannya. Apabila perkembangan penerimaan penjualan tersebut seperti deret hitung,, berapa perkembangan penerimaanya per tahun?  Berapa besar penerimaannya pada tahun pertama dan pada tahun keberapa penerimaannya sebesar Rp. 460 Milyar?

Jawab: Diketahui: 

Dalam Milyaran: 

S7= 980 

S5= 720

S7= 980  a+(7-1).b =980 

                a+6b=980.....(1) 

S5= 720  a+(5-1).b =720 

                a+4b= 720....(2) 

A. Eliminasi pers 1 dan 2 

a+6b= 980 

a+4b= 720 

    2b= 260 

    b= 260/2

    b= 130 

Perkembangan penerimaan pertahun sebesar Rp.130 milyar 

B. Lalu masukan nilai b pada salah satu persamaan diatas, misalnya dengan persamaan (2) 

a+4b=720 

a=720-4(130)

a=720-520 

a=200 

C. Sn= a+(n-1).b 

460= 200+(n-1).130 

460= 200+130n-130 

460-70+130n 

390=130n 

n=390/130 

n=3 

Penerimaan sebesar Rp.460 milyar diterima pada tahun ketiga 

B. Deret Ukur 

Deret Ukur adalah deret yang perubahan suku-sukunya berdasarkan perkalian terhadap sebuah bilangan tertentu. 

Contoh: 

5,10,20,40,80,160 (Pengganda = 2) 

1000,500,250,125 (Pengganda = 0,5)

S1 = 5 = a 

S2 = 10 =  a.p ap ²ˉ¹ 

S3 = 20 = a.pp ap2 = ap ³ˉ¹

Model Bunga Majemuk: 

Model Bunga majemuk merupakan penerapan deret ukur dalam kasus Investasi. Dengan model ini bisa dihitung pengembalian kredit dimasa kan datang berdasarkan tingkat bunganya. Modal Pokok  sebesar P dibungakan secara majemuk dengan suku bunga per tahun setingkat  i, maka jumlah akumulatif modal tersebut di masa datang setelah n tahun (Fn) dapat di hitung sebagai berikut

Setelah 1 tahun : F1 = P + P.i = P (1+i) 

Setelah 2 tahun : F2 = P (1+i) + P (1+i) = P (1 + i )2 

Setelah 3 tahun : F3 = P (1 + i )2 + P (1+i)2 i = P (1 + i )3

Dengan demikian, jumlah masa datang dari jumlah sekarang adalah: Fn= P (1 + i )n 

P = Jumlah sekarang

I = tingkat bunga per tahun 

n = jumlah tahun

Bila menggunakan pembayar per termin, maka rumusnya: 

Fn= P (1 +  i/m) m.n

m = frekuensi pembayaran bunga dalam setahun

Contoh soal: 

1. Nadhia meminjam uang di BCA sebanyak Rp. 5 milyar untuk jangka waktu 3 tahun, dengan tingkat bunga 2% per tahun. Berapa jumlah uang yang dikembalikan pada saat pelunasan? Seandainya perhitungan pembayar bunga bukan tiap tahun, melainkan tiap semester, Berapa jumlah yang harus dikembalikan Nadhia?

Suku (1+i)  dan (1 + i/m)

Dalam dunia bisnis dinamakan “ Faktor Bunga Majemuk” (compounding interest  factor), yaitu suatu bilangan terdiri dari 1 yang dapat dipakai untuk menghitung jumlah dimasa datang dari suatu jumlah sekarang.

Contoh 

soal: 1. Nadhia meminjam uang di BCA sebanyak Rp. 5 milyar untuk jangka waktu 3 tahun, dengan tingkat bunga 2% per tahun. Berapa jumlah uang yang dikembalikan pada saat pelunasan? Seandainya perhitungan pembayar bunga bukan tiap tahun, melainkan tiap semester, Berapa jumlah yang harus dikembalikan Nadhia?

Jawab:

Fn=P(1+i)n

P= 5M

i= 2%=0,02

n=3

F3= 5.000.000.000 (1+0,02)3

F3= 5.000.000.000 (1.02)3

F3= 5.000.000.000 (1.061208)

F3= 5.306.040.000.000

2. Tabungan  Arumi Bachsin di BNI akan menjadi sebesar Rp. 532.400.000  tiga tahun akan datang. Jika tingkat bunga bank yang berlaku 10 % per tahun, berapa tabungan Arumi Bachsin  tersebut pada saat sekarang ini?

Fn=P(1+i)ⁿ  atau P(1+i)ⁿ =Fn atau P=Fn/(1-i)n

P= 532.400.000/(1-0,1)3

P=532.400.000/(1,331)

P=400.000.000

Bagikan Artikel ini